المعادلات الخطية والتربيعية

المعادلة الخطية في متغير واحد

هي معادلة على الصورة ax + b = 0 حيث a لا يساوي صفراً، وحلها x = −b ÷ a. ولحل أي معادلة خطية نجمع الحدود التي فيها المتغير في طرف والأعداد في الطرف الآخر، مع مراعاة أن ما نفعله في طرف نفعله في الطرف الآخر.

مثال 1: حل المعادلة 3x + 5 = 20.
نطرح 5 من الطرفين: 3x = 15، ثم نقسم على 3: x = 5.
التحقق: 3 × 5 + 5 = 20 صحيح.

مثال 2: حل المعادلة 2(x − 3) = x + 4.
نفك القوس: 2x − 6 = x + 4، ثم ننقل: 2x − x = 4 + 6، إذن x = 10.

مثال 3 (كسور): حل المعادلة x/2 + x/3 = 10.
نضرب الطرفين في 6 (المضاعف المشترك الأصغر): 3x + 2x = 60، إذن 5x = 60 وx = 12.

نظام معادلتين خطيتين

نحتاج أحياناً إلى إيجاد قيمتين مجهولتين تحققان معادلتين معاً.

طريقة الحذف

حل النظام: x + y = 10 وx − y = 4.
بجمع المعادلتين: 2x = 14، إذن x = 7. وبالتعويض في الأولى: 7 + y = 10، إذن y = 3.

طريقة التعويض

حل النظام: y = 2x وx + y = 12.
نعوض الأولى في الثانية: x + 2x = 12، إذن x = 4 وy = 8.

تطبيق: باع متجر 10 قطع من نوعين، سعر الأول 3 دنانير والثاني 5 دنانير، والإيراد 38 ديناراً. إذا كان x عدد قطع النوع الأول وy عدد قطع الثاني: x + y = 10 و3x + 5y = 38. من الأولى x = 10 − y، وبالتعويض: 30 − 3y + 5y = 38، إذن 2y = 8 وy = 4 وx = 6.

المعادلة التربيعية

هي معادلة على الصورة ax² + bx + c = 0 حيث a لا يساوي صفراً، ولها حلان على الأكثر.

الحل بالتحليل

حل المعادلة x² − 5x + 6 = 0.
نبحث عن عددين حاصل ضربهما 6 ومجموعهما −5، وهما −2 و−3: (x − 2)(x − 3) = 0، إذن x = 2 أو x = 3.

الحل بالقانون العام

x = (−b ± الجذر التربيعي لـ (b² − 4ac)) ÷ 2a.

حل المعادلة 2x² + 3x − 2 = 0: هنا a = 2 وb = 3 وc = −2.
المميز = b² − 4ac = 9 − 4 × 2 × (−2) = 9 + 16 = 25، وجذره 5.
x = (−3 + 5) ÷ 4 = 0.5 أو x = (−3 − 5) ÷ 4 = −2.

المميز ونوع الجذور

المقدار b² − 4ac يسمى المميز، ومنه نعرف نوع الحلول دون حلها:

• إذا كان المميز موجباً فللمعادلة حلان حقيقيان مختلفان.
• إذا كان المميز صفراً فللمعادلة حل حقيقي واحد مكرر، مثل x² − 6x + 9 = 0 وحلها x = 3.
• إذا كان المميز سالباً فلا توجد حلول حقيقية، مثل x² + x + 5 = 0 لأن المميز = 1 − 20 = −19.

تطبيق تجاري

ربح شركة بالآلاف يُعطى بالعلاقة P = −x² + 12x − 20 حيث x عدد الوحدات بالمئات. متى يكون الربح صفراً؟ نحل −x² + 12x − 20 = 0، أي x² − 12x + 20 = 0، فنحصل على (x − 2)(x − 10) = 0، إذن x = 2 أو x = 10. فالشركة تحقق ربحاً موجباً عندما يكون الإنتاج بين 200 و1000 وحدة.