مفهوم المتباينة
المتباينة علاقة تقارن بين مقدارين باستخدام أحد الرموز: أصغر من (<)، أكبر من (>)، أصغر من أو يساوي (≤)، أكبر من أو يساوي (≥). وحل المتباينة ليس قيمة واحدة غالباً، بل مجموعة من القيم نعبّر عنها بفترة أو نمثلها على خط الأعداد.
خواص المتباينات
- إضافة العدد نفسه إلى طرفي المتباينة أو طرحه منهما لا يغيّر اتجاهها: إذا كان a < b فإن a + c < b + c.
- ضرب الطرفين أو قسمتهما على عدد موجب لا يغيّر اتجاهها.
- ضرب الطرفين أو قسمتهما على عدد سالب يعكس اتجاه المتباينة. فمثلاً 2 < 5، لكن بالضرب في −1 نحصل على −2 > −5.
الخاصية الثالثة هي أكثر ما يُخطئ فيه الطلاب، فانتبه لها دائماً.
حل المتباينات الخطية
مثال 1: حل 2x − 3 < 7.
نضيف 3 للطرفين: 2x < 10، ثم نقسم على 2: x < 5. الحل هو الفترة (−∞, 5).
مثال 2: حل −3x ≥ 12.
نقسم على −3 ونعكس الاتجاه: x ≤ −4. الحل هو الفترة (−∞, −4].
مثال 3: حل 5x + 2 ≤ 2x + 11.
ننقل: 5x − 2x ≤ 11 − 2، إذن 3x ≤ 9 وx ≤ 3.
المتباينة المزدوجة
حل −1 ≤ 2x + 3 < 9.
نطرح 3 من الأطراف الثلاثة: −4 ≤ 2x < 6، ثم نقسم على 2: −2 ≤ x < 3. الحل هو الفترة [−2, 3)، أي أن x أكبر من أو يساوي −2 وأصغر من 3.
القيمة المطلقة
القيمة المطلقة للعدد x، ورمزها |x|، هي بُعده عن الصفر على خط الأعداد، فهي دائماً غير سالبة: |5| = 5 و|−5| = 5 و|0| = 0. ورياضياً: |x| = x إذا كان x ≥ 0، و|x| = −x إذا كان x < 0.
معادلات القيمة المطلقة
- |x| = 5 يعني x = 5 أو x = −5.
- |x − 2| = 3 يعني x − 2 = 3 أو x − 2 = −3، إذن x = 5 أو x = −1.
متباينات القيمة المطلقة
- |x| < a (حيث a موجب) تعني −a < x < a.
- |x| > a تعني x > a أو x < −a.
مثال: حل |x − 2| < 3.
تصبح −3 < x − 2 < 3، وبإضافة 2: −1 < x < 5.
مثال: حل |x| ≥ 4.
الحل x ≥ 4 أو x ≤ −4.
تطبيقات تجارية
شرط تحقيق الربح
تبيع شركة منتجاً بسعر 40 ديناراً للوحدة، وتكاليفها الثابتة 2000 دينار ولا تكاليف متغيرة تُذكر. يكون الربح 40x − 2000، ولتحقيق ربح موجب نحل 40x − 2000 > 0، أي 40x > 2000، إذن x > 50. يجب بيع أكثر من 50 وحدة.
حدود الميزانية
لدى قسم ميزانية لا تتجاوز 1500 دينار لشراء أجهزة سعر الواحد 250 ديناراً مع رسوم توصيل ثابتة 100 دينار. نحل 250x + 100 ≤ 1500، فنحصل على 250x ≤ 1400، إذن x ≤ 5.6. وبما أن عدد الأجهزة عدد صحيح، فأقصى عدد يمكن شراؤه 5 أجهزة.
هامش التفاوت في الجودة
إذا كان الوزن المطلوب لعبوة 500 غرام بتفاوت مسموح 5 غرامات، فالشرط هو |w − 500| ≤ 5، أي 495 ≤ w ≤ 505. وهكذا تُستخدم القيمة المطلقة في ضبط الجودة.