تصنيف الأعداد
- الأعداد الطبيعية: 1، 2، 3، ... وتستخدم في العدّ.
- الأعداد الصحيحة: تشمل الطبيعية وأضدادها السالبة والصفر: ...، −2، −1، 0، 1، 2، ...
- الأعداد النسبية: كل عدد يمكن كتابته على صورة كسر a ÷ b حيث a وb صحيحان وb لا يساوي صفراً، مثل 3/4 و−5 و0.25.
- الأعداد غير النسبية: لا يمكن كتابتها كسراً، وتمثيلها العشري غير منتهٍ وغير دوري، مثل الجذر التربيعي لـ 2 والعدد π.
- الأعداد الحقيقية: اتحاد الأعداد النسبية وغير النسبية، وتمثل على خط الأعداد.
الفترات
نعبّر عن مجموعات من الأعداد الحقيقية بالفترات:
- الفترة المغلقة [2, 5] تشمل كل الأعداد من 2 إلى 5 بما فيها 2 و5.
- الفترة المفتوحة (2, 5) تشمل الأعداد بين 2 و5 دون الطرفين.
- الفترة نصف المفتوحة [2, 5) تشمل 2 ولا تشمل 5.
- الفترة [3, ∞) تشمل كل عدد أكبر من أو يساوي 3.
الأسس
إذا كان a عدداً حقيقياً وn عدداً طبيعياً فإن a^n يعني ضرب a في نفسه n مرة، فمثلاً 2^3 = 2 × 2 × 2 = 8. يسمى a الأساس وn الأس.
قوانين الأسس
- a^m × a^n = a^(m+n). مثال: 2^3 × 2^4 = 2^7 = 128.
- a^m ÷ a^n = a^(m−n). مثال: 5^6 ÷ 5^4 = 5^2 = 25.
- (a^m)^n = a^(m×n). مثال: (3^2)^3 = 3^6 = 729.
- (a × b)^n = a^n × b^n. مثال: (2 × 5)^3 = 8 × 125 = 1000.
- a^0 = 1 لأي عدد a لا يساوي صفراً. مثال: 7^0 = 1.
- a^(−n) = 1 ÷ a^n. مثال: 2^(−3) = 1/8.
الجذور
الجذر التربيعي للعدد الموجب a هو العدد الموجب الذي مربعه a، فالجذر التربيعي لـ 49 هو 7. والجذر التكعيبي لـ 27 هو 3 لأن 3^3 = 27. ويمكن كتابة الجذور على صورة أسس كسرية:
- الجذر التربيعي لـ a = a^(1/2)، فمثلاً 16^(1/2) = 4.
- الجذر التكعيبي لـ a = a^(1/3)، فمثلاً 8^(1/3) = 2.
- a^(m/n) = (الجذر النوني لـ a) مرفوعاً للقوة m، فمثلاً 8^(2/3) = 2^2 = 4.
تبسيط الجذور
الجذر التربيعي لـ 50 = الجذر التربيعي لـ (25 × 2) = 5 × الجذر التربيعي لـ 2. ونستخدم هنا خاصية أن جذر حاصل الضرب يساوي حاصل ضرب الجذرين.
مثال شامل
بسّط المقدار: (2^5 × 2^(−2)) ÷ 2^2.
الحل: البسط = 2^(5 − 2) = 2^3، ثم 2^3 ÷ 2^2 = 2^1 = 2.
تطبيق تجاري: النمو المركب
تستخدم الأسس في حساب الفائدة المركبة ونمو المبيعات: القيمة بعد n سنة = القيمة الأولى × (1 + r)^n حيث r معدل النمو. فإذا كانت مبيعات شركة 10,000 دينار وتنمو بمعدل 10% سنوياً، فبعد سنتين تصبح: 10,000 × (1.1)^2 = 10,000 × 1.21 = 12,100 دينار. وبعد ثلاث سنوات: 10,000 × 1.331 = 13,310 ديناراً.
ملاحظات لتجنب الأخطاء الشائعة
- (a + b)^2 لا يساوي a^2 + b^2، بل يساوي a^2 + 2ab + b^2.
- −3^2 = −9 بينما (−3)^2 = 9، فالأقواس تغيّر المعنى.
- لا يوجد جذر تربيعي حقيقي لعدد سالب.