تعريف المصفوفة
المصفوفة ترتيب مستطيل من الأعداد في صفوف (أفقية) وأعمدة (رأسية). ونكتب في هذا الدرس المصفوفة صفاً صفاً: كل قوس داخلي يمثل صفاً. فالمصفوفة A = [[2, 1], [3, 4]] صفها الأول 2 و1، وصفها الثاني 3 و4.
رتبة المصفوفة
رتبة المصفوفة = عدد الصفوف × عدد الأعمدة. فالمصفوفة A رتبتها 2 × 2، والمصفوفة [[1, 0, 5], [2, 7, 3]] رتبتها 2 × 3. ونرمز للعنصر الواقع في الصف i والعمود j بالرمز aij؛ ففي A العنصر a21 = 3.
أنواع المصفوفات
- المصفوفة المربعة: عدد صفوفها يساوي عدد أعمدتها.
- مصفوفة الصف: صف واحد، مثل [5, 2, 8]. ومصفوفة العمود: عمود واحد.
- المصفوفة الصفرية: جميع عناصرها أصفار.
- المصفوفة القطرية: مربعة وجميع عناصرها خارج القطر الرئيسي أصفار.
- مصفوفة الوحدة I: قطرية وعناصر قطرها الرئيسي آحاد، مثل [[1, 0], [0, 1]]. وتلعب دور العدد 1 في الضرب.
تساوي المصفوفات
تتساوى مصفوفتان إذا كانت لهما الرتبة نفسها وكانت العناصر المتناظرة متساوية.
الجمع والطرح
نجمع أو نطرح العناصر المتناظرة، ويشترط تساوي الرتبة. لتكن B = [[1, 0], [5, 2]]:
A + B = [[2 + 1, 1 + 0], [3 + 5, 4 + 2]] = [[3, 1], [8, 6]].
A − B = [[1, 1], [−2, 2]].
والجمع إبدالي: A + B = B + A.
ضرب المصفوفة في عدد
نضرب كل عنصر في العدد: 2A = [[4, 2], [6, 8]].
ضرب مصفوفتين
الشرط: عدد أعمدة الأولى يساوي عدد صفوف الثانية. فإذا كانت الأولى من رتبة m × n والثانية n × p، تكون رتبة الناتج m × p.
الطريقة: العنصر في الصف i والعمود j من الناتج = مجموع حواصل ضرب عناصر الصف i من الأولى في العناصر المناظرة من العمود j في الثانية.
احسب A × B:
- الصف الأول × العمود الأول: 2 × 1 + 1 × 5 = 7
- الصف الأول × العمود الثاني: 2 × 0 + 1 × 2 = 2
- الصف الثاني × العمود الأول: 3 × 1 + 4 × 5 = 23
- الصف الثاني × العمود الثاني: 3 × 0 + 4 × 2 = 8
إذن A × B = [[7, 2], [23, 8]].
أما B × A فيساوي [[2, 1], [16, 13]]. لاحظ أن ضرب المصفوفات ليس إبدالياً في العموم، أي أن A × B لا يساوي B × A.
منقول المصفوفة
منقول المصفوفة A، ونرمز له بالرمز A^T، نحصل عليه بتحويل الصفوف إلى أعمدة: إذا كانت A = [[2, 1], [3, 4]] فإن A^T = [[2, 3], [1, 4]]. ومنقول مصفوفة من رتبة 2 × 3 يكون من رتبة 3 × 2.
تطبيق تجاري
باع متجر في يوم واحد 10 علب من المنتج الأول و5 من الثاني و8 من الثالث، وأسعارها على الترتيب 4 و6 و3 دنانير. نكتب الكميات مصفوفة صف Q = [10, 5, 8]، والأسعار مصفوفة عمود P رأسية عناصرها 4 و6 و3. حاصل الضرب Q × P مصفوفة من رتبة 1 × 1:
الإيراد = 10 × 4 + 5 × 6 + 8 × 3 = 40 + 30 + 24 = 94 ديناراً.
وإذا كان للمتجر عدة فروع، نضع كميات كل فرع في صف، فيعطي حاصل الضرب إيراد كل الفروع دفعة واحدة. لذلك تُستخدم المصفوفات بكثرة في جداول البيانات وتحليل المبيعات والمخزون.